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提起数学与经济学的结合，很多人可能会觉得这是一门高深莫测的学问，需要深厚的数学功底才能入门。然而，乔尔·N·富兰克林的这本《数学经济学方法》却为我们打开了一扇平易近人的门。这部经典著作最初于1980年由施普林格出版社发行，后被SIAM（工业与应用数学学会）纳入“应用数学经典丛书”重新出版，足以说明它在学术界经久不衰的影响力。富兰克林教授长期在加州理工学院任教，在数学与应用数学领域有着深厚的造诣，他将抽象的数学理论与经济学的实际问题巧妙地结合起来，让读者能够看到数学工具如何在经济学分析中发挥威力。
这本书主要分为三个部分，各有侧重又相互呼应。第一部分是线性规划，这是数学经济学的基石之一。作者从线性规划的基本概念讲起，逐步深入到对偶理论、单纯形法等核心内容。线性规划在资源分配、生产计划等问题中有着广泛的应用，而理解其背后的数学原理，对于解决实际问题至关重要。富兰克林在讲解时特别注重概念的直观解释，让读者能够真正理解每个方法的来龙去脉，而不仅仅是机械地套用公式。他还用了不少篇幅讨论整数规划、网络流问题以及博弈论中的零和二人对策，这些内容使得线性规划的应用范围得到了极大的拓展。特别是 Gomory 方法处理整数规划的思想，以及如何将博弈问题转化为线性规划问题，都讲得鞭辟入里。
第二部分转向非线性规划，这是对线性规划的深化与拓展。富兰克林重点介绍了 Wolfe 方法用于二次规划，以及在优化理论中占有核心地位的 Kuhn-Tucker 理论。Kuhn-Tucker 条件是约束优化问题的里程碑式成果，理解它对于把握非线性规划的精髓至关重要。此外，他还探讨了几何规划这一有趣而实用的分支，它在工程设计中有着独特的价值。这部分内容虽然比线性规划更加抽象，但作者通过清晰的逻辑推导和适当的例子，让这些理论变得可以理解。
第三部分是关于不动点定理的，这是本书最具特色的地方。不动点定理在数理经济学中有着奇妙的应用，尤其是 Brouwer 不动点定理和 Kakutani 不动点定理，它们为证明一般均衡理论的存在性提供了强有力的工具。富兰克林介绍了几种不同的证明方法，包括 Garsia 的证明、Milnor 的证明以及基于 Sperner 引理的初等证明，这种多元的呈现方式让读者可以从不同角度理解这一深刻的结果。他还讨论了 Schauder 不动点定理，并将其应用于 Nash 关于 n 人博弈均衡存在性的著名定理，这部分内容完美地展示了纯数学与经济学理论的交汇。
这本书的价值在于它不仅是一本数学教材，更是一座连接数学与经济学的桥梁。富兰克林的写作风格务实而严谨，他注重理论与应用的平衡，既不会让数学推导变得空洞无物，也不会让应用变得缺乏理论深度。对于读者来说，通过学习这本书，能够掌握一套系统的数学工具，这些工具在博弈论、资源配置、市场均衡等问题的研究中都有着广泛的应用。虽然书中的内容有一定难度，但作者的表达方式使得即使是具有基本微积分和线性代数基础的读者，也能够循序渐进地掌握主要内容。这本书特别适合作为经济学、管理学、应用数学等专业高年级本科生或研究生的教材，同时也适合那些希望深入了解数学在经济学中应用的读者参考。无论是准备进入学术研究领域，还是希望在实践中运用这些方法的人，都能从这本书中获得宝贵的知识和启发。