资源介绍
本书以简洁实用的方式介绍工程数学知识，专为本科生和教师设计，涵盖一学期课程范围内的核心内容，旨在帮助学生建立坚实的工程数学基础，并能将其应用于各自的工程学科。书中结合 MATLAB® 软件，通过实例简化复杂计算，提供可视化内容连接理论与实践，同时包含可选的高级主题，适合不同层次的学习者。
主要章节内容
1. 一阶常微分方程
微分方程及其解：介绍微分方程的基本概念，包括一阶微分方程、常微分方程与偏微分方程的区别、微分方程的表示形式（隐式和显式）、解的定义以及初值问题。还总结了基本的微分和积分公式。
可分离变量的一阶常微分方程：讲解分离变量法及其扩展方法，通过变量替换将非可分离形式的方程转化为可分离形式求解。
恰当一阶常微分方程与积分因子：阐述恰当微分方程的定义和判断条件，以及如何通过积分因子将非恰当微分方程转化为恰当微分方程求解，并介绍了寻找积分因子的方法。
一阶常微分方程的通解：给出一阶常微分方程的标准形式，包括齐次和非齐次方程，介绍了求解齐次方程的方法以及利用积分因子求解非齐次方程的步骤，还涉及伯努利方程（可选）。
一阶常微分方程的应用：将一阶常微分方程应用于热传递（牛顿冷却定律）、放射性元素衰变和电路（RL 电路、RC 电路）等领域。
常微分方程的数值方法（可选）：介绍了欧拉方法和龙格 - 库塔方法这两种求解常微分方程的数值方法。
MATLAB® 的应用：讲解如何使用 MATLAB® 进行相关计算，包括创建 m 文件、绘制函数图像、绘制常微分方程解的图像以及求解一阶常微分方程。
2. 二阶常微分方程
齐次常微分方程：给出二阶齐次常微分方程的标准形式，介绍线性组合、基解和通解的概念，初值问题以及已知一个解时求第二个解的方法（参数变易法）。
常系数二阶齐次常微分方程：通过特征方程求解常系数二阶齐次常微分方程，根据特征根的不同情况（不同实根、重实根、共轭复根）得到通解，还介绍了微分算子。
欧拉 - 柯西方程：介绍欧拉 - 柯西方程的形式，通过设定解的形式得到特征方程，根据特征根的情况得到通解。
二阶非齐次常微分方程：指出二阶非齐次常微分方程的通解是齐次方程的通解与一个特解之和，介绍了求特解的待定系数法和参数变易法。
二阶常微分方程的应用：将二阶常微分方程应用于振动（无阻尼振动、阻尼振动）和电路（LC 电路、RLC 电路）等领域。
MATLAB® 的应用：介绍如何使用 MATLAB® 求解二阶常微分方程并绘制解的图像。
3. 高阶常微分方程
齐次常微分方程：给出高阶齐次常微分方程的标准形式，介绍基解和通解的概念，以及三阶、四阶及更高阶线性常微分方程和欧拉 - 柯西方程的求解方法。
非齐次常微分方程：说明高阶非齐次常微分方程的通解是齐次方程的通解与一个特解之和，介绍了求特解的待定系数法和参数变易法（朗斯基行列式法）。
高阶常微分方程的应用：以弹性梁为例，介绍高阶常微分方程在工程中的应用，通过梁的挠度与分布载荷的关系建立四阶常微分方程并求解。
MATLAB® 的应用：介绍如何将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程组，再使用龙格 - 库塔方法绘制解的图像，以及使用 MATLAB® 的 dsolve 命令求解高阶常微分方程。
4. 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义：介绍拉普拉斯变换的符号约定、线性性质，以及 1、tⁿ、指数函数、三角函数等的拉普拉斯变换，还包括 s - 移位和拉普拉斯逆变换。
导数和积分的拉普拉斯变换：给出导数和积分的拉普拉斯变换公式，介绍如何利用拉普拉斯变换求解带初值条件的常微分方程以及在系统分析中的应用，还涉及带 t - 移位初值的常微分方程的求解（可选）。
单位阶跃函数和狄拉克 δ 函数：介绍单位阶跃函数和狄拉克 δ 函数的拉普拉斯变换，以及 t - 移位的相关内容。
卷积、积分方程以及变换的微分和积分：介绍卷积的概念和性质，利用卷积求解积分方程，以及拉普拉斯变换的微分和积分运算。
拉普拉斯变换的应用：将拉普拉斯变换应用于振动、电路等工程领域的问题求解。
MATLAB® 的应用：介绍使用 MATLAB® 的 laplace 命令和 ilaplace 命令进行拉普拉斯变换和逆变换的计算。
5. 常微分方程的级数解
幂级数方法：介绍幂级数的概念，包括收敛半径和收敛区间，以及使用幂级数方法求解线性常微分方程的技巧和理论。
弗罗贝尼乌斯方法：作为幂级数方法的扩展，介绍弗罗贝尼乌斯方法，用于求解具有特定奇点的常微分方程。
贝塞尔函数和勒让德多项式：介绍贝塞尔方程及其解（第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数）和勒让德方程及其解（勒让德多项式）。
MATLAB® 的应用：介绍使用 MATLAB® 计算伽马函数、绘制贝塞尔函数图像以及求解相关常微分方程。
6. 线性代数：矩阵、行列式和特征值问题
矩阵基础：介绍向量（行向量、列向量）和矩阵的概念，包括矩阵的相等、矩阵的加减和数乘运算、矩阵的乘法运算以及转置矩阵的性质。
线性方程组、行列式和逆矩阵：介绍线性方程组的矩阵表示形式，使用高斯消元法求解线性方程组，讲解线性无关和矩阵的秩的概念，行列式的计算以及逆矩阵的定义和求法，还介绍了利用逆矩阵求解线性方程组。
特征值问题：介绍线性代数中的两种基本形式的特征值问题，求解特征值和特征向量的方法以及特征向量的归一化。
线性代数的应用：将线性代数应用于静力学、振动和电路等领域。
MATLAB® 的应用：介绍使用 MATLAB® 进行矩阵的各种运算（如乘法、求行列式、求逆矩阵等）、求解线性方程组以及求解特征值和特征向量。
7. 线性常微分方程组
两个一阶常微分方程组成的方程组：介绍如何将二阶和高阶常微分方程转化为一阶常微分方程组，以及齐次方程组的解和非齐次方程组的通解。
线性齐次常微分方程组：根据特征方程的特征值情况（不同实根、重实根、共轭复根）求解线性齐次常微分方程组，还涉及相平面（可选）。
线性非齐次常微分方程组：介绍求解线性非齐次常微分方程组的方法，通过寻找特解与齐次方程组的通解相加得到非齐次方程组的通解。
常微分方程组的应用：将常微分方程组应用于液体混合和电路等领域。
MATLAB® 的应用：介绍使用 MATLAB® 求解线性常微分方程组。
8. 向量微分学：梯度、散度和旋度
向量运算：介绍标量和向量的概念，单位向量（运动方向和旋转方向），向量的表示方法，向量的模，向量的加减和数乘运算，内积（点积）和外积（叉积）的定义、运算规则和应用，以及标量三重积。
向量函数的导数、向量函数的方向：介绍向量函数和标量函数的概念，链式法则，向量函数的导数，以及曲线的参数表示和切线方程。
标量场的梯度、方向导数：介绍梯度的概念和计算，曲面的法向量，以及方向导数的定义和计算。
向量场的散度和旋度：介绍散度和旋度的概念和计算。
MATLAB® 的应用：介绍使用 MATLAB® 计算向量的模、内积和外积等。
9. 向量积分和积分定理
线积分：介绍线积分的定义，以及线积分与路径无关的条件和相关性质。
二重积分：介绍二重积分的概念和计算方法，包括在直角坐标系下的计算以及变量替换（如极坐标变换）。
平面上的格林定理：介绍格林定理，将平面区域上的二重积分转化为边界曲线上的线积分，反之亦然。
曲面积分：介绍曲面的参数表示，以及曲面积分的概念和计算。
三重积分和高斯散度定理：介绍三重积分的概念，以及高斯散度定理，将空间区域上的三重积分转化为边界曲面上的曲面积分。
空间中的斯托克斯定理：介绍斯托克斯定理，将曲面上的曲面积分转化为边界曲线上的线积分。
核心思想
理论与应用结合：本书不仅讲解工程数学的理论知识，还通过大量实例将其应用于机械工程、电气工程、化学工程等多个领域，体现了工程数学在实际工程中的重要性。
计算工具辅助：强调 MATLAB® 在工程数学计算中的应用，通过使用该软件简化复杂计算，帮助学生更好地理解和应用所学知识。
循序渐进：内容安排从一阶常微分方程到高阶常微分方程，从拉普拉斯变换到向量微积分和积分定理，由浅入深，逐步深入，便于学生理解和掌握。
本书适合作为工程类专业本科生的工程数学教材，也可供相关领域的教师和工程师参考，帮助他们掌握工程数学的基本理论和应用方法。