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本著作是德国明斯特大学数学系的优秀硕士研究成果，隶属于聚焦德、奥、瑞知名高校顶尖硕士论文的系列成果，聚焦应用数学领域中随机偏微分方程的核心研究方向 —— 参数辨识，重点解决非平稳情形下该问题的不适定性难题。研究融合泛函分析、正则化理论、概率论与随机微分方程等多领域知识，从经典 Tikhonov 正则化理论出发，逐步拓展理论边界、构建适配随机数据的分析工具，最终将理论成果应用于由生物学问题衍生的随机微分方程参数辨识中，完成了从平稳场景到非平稳时间依赖场景的方法推广，为随机偏微分方程反问题的研究提供了完整的理论框架与实际应用路径，兼具理论创新性与应用指导性。
本研究的核心目标是分析随机偏微分方程参数辨识中的具体不适定问题，梳理并拓展现有正则化理论成果，将其应用于生物学研究中衍生的实际问题，最终建立一套适用于非平稳情形的随机偏微分方程参数辨识方法。参数辨识是偏微分方程反问题的核心研究内容，而随机偏微分方程的参数辨识因实测数据的随机性、问题本身的不适定性成为该领域的难点，现有研究多集中于平稳场景，非平稳情形的理论与方法则存在明显研究空白，这也是本研究的核心切入点。
著作的研究内容遵循 “基础理论梳理 — 理论拓展与泛函构建 — 随机数据处理 — 实际问题应用” 的逻辑层层推进，整体分为五个核心部分。第一部分梳理了非线性不适定问题的 Tikhonov 正则化基础理论，明确了不适定性条件、极小化元的存在性、正则化的稳定性与收敛性四大核心性质，同时补充了收敛速率的分析方法，还从历史发展角度追溯该理论的演进，为后续的理论推广奠定基础。第二部分对正则化收敛速率的条件进行深度拓展，突破了原有希尔伯特空间的限制，将理论推广至更一般的巴拿赫空间，引入变分源条件、广义惩罚项与新的非线性条件，弱化了算子可微性的严苛假设，让理论适用于更广泛的不适定问题。第三部分构建了广义 Tikhonov 泛函，重新定义了保真项与噪声模型，解决了传统保真项不满足三角不等式的问题，还引入库尔贝克 - 莱布勒散度作为相似性度量，适配了随机数据的统计特性。第四部分引入概率论工具处理随机数据，通过集中不等式得到概率性的误差界，推导出概率收敛速率与期望收敛速率，为随机数据下的参数辨识提供了严格的误差分析方法。第五部分是理论的实际应用，将研究聚焦于随机微分方程（SDE）的参数辨识，先分析了平稳情形下基于福克 - 普朗克方程的漂移项辨识，验证了方法的有效性，再进一步拓展至非平稳的时间依赖情形，推导了非平稳场景下前向算子的核心性质，验证了切锥条件的成立，甚至在更弱的切锥条件下完成了关键证明，为非平稳场景的实际参数辨识提供了直接的理论支撑。
本研究的核心方法是多理论的融合与适配，将泛函分析中的正则化理论、概率论中的集中不等式、偏微分方程中的福克 - 普朗克方程与随机微分方程的理论深度结合，针对非平稳情形的特殊性重新定义前向算子、保真项与误差泛函，让理论框架能够适配非平稳场景的需求。同时，研究采用 “从特殊到一般、从理论到应用” 的路径，先在经典平稳场景中验证方法的有效性，再逐步放松假设、拓展至非平稳的一般情形，最终落地到生物学的实际问题中，保证了理论的严谨性与应用的可行性。
研究的创新点体现在三个方面：其一，填补了非平稳情形下随机偏微分方程参数辨识的理论空白，将经典的 Tikhonov 正则化理论从平稳场景推广至时间依赖的非平稳场景，完善了随机偏微分方程参数辨识的正则化方法体系；其二，弱化了传统理论的严苛假设，突破了希尔伯特空间的限制，提出了适配巴拿赫空间的变分源条件与弱切锥条件，让正则化理论的适用范围大幅拓展；其三，为随机数据下的参数辨识构建了完整的误差分析体系，通过概率论工具得到了概率收敛速率与期望收敛速率，同时引入 KL 散度作为相似性度量，解决了随机数据的保真项构建难题。
本著作的研究价值兼具理论与应用双重维度。在理论层面，其进一步完善了不适定问题的正则化理论，拓展了 Tikhonov 正则化在随机偏微分方程领域的应用边界，为后续相关反问题的研究提供了重要的理论参考；在应用层面，研究将理论与生物学中的细胞随机运动建模结合，为该问题中的未知力场重构提供了有效的数学方法，同时其建立的非平稳参数辨识框架也可迁移至物理学、工程学等领域，为各类具有非平稳特性的随机过程建模与参数估计提供了通用的分析思路，让抽象的数学理论能够落地解决实际科学问题。