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在理论物理与纯粹数学交汇的奇妙领域，有一本著作以其独特的方式架起了两大知识体系之间的桥梁，这就是著名物理学家Andrei Smilga撰写的《几何与超对称》。Smilga教授来自法国南特大学，长期从事高能物理和量子场论的研究，是该领域备受尊敬的学者。这本书由World Scientific出版社于2026年推出，是2020年第一版的修正与扩展版本，作者在保留原有精华的基础上修正了第一版中不可避免的错误和疏漏，并大幅补充了超凯勒几何方面的内容，使得新版的讨论更加详尽深入，全书共计420页。
本书的核心思想源于一个看似简单却影响深远的数学物理洞见：1982年，Edward Witten发表了一篇开创性论文，展示了如何运用超对称量子力学的语言来简洁而透明地描述de Rham复形和Morse理论等微分几何与微分拓扑中的经典问题。这一发现揭示了超对称方法在纯数学领域的强大威力——它不仅能够帮助我们用更直观的方式理解已知结论，更能推导出许多崭新的数学结果。然而据Smilga观察，时至今日超对称的语言尚未成为这一数学分支的通用工具，许多数学家仍然偏好使用更为传统的方法来处理问题，这不能不说是一种遗憾。本书正是为弥补这一缺憾而作，Smilga尝试用一种物理学家和数学家都能理解的方式来阐述超对称的形式体系，并用它来推导微分几何领域的诸多新旧结果。
本书的独特之处在于其清晰的三部分结构。第一部分“几何”系统介绍了读者需要掌握的数学基础，包括实流形上的Riemann几何、微分形式、主纤维丛与规范场、Vielbein与切空间等核心概念，进而深入到复流形的复描述与实描述，以及超凯勒流形和HKT流形等更高级的几何结构。第二部分“物理”则从物理学的角度出发，详细讲解了带有Grassmann变量的动力学系统、超对称的基本定义与性质、超对称振子、磁场中的电子、Witten模型以及拓展超对称等内容，随后引入了路径积分和Witten指标的计算方法，以及超空间与超场的形式理论。第三部分“综合”是全书的精华所在，将前两部分的数学与物理工具有机结合，展示了如何用超对称语言描述de Rham复形和Dolbeault复形，如何构建拓展超对称的sigma模型，包括N等于4和N等于8的情形，深入讨论了Kahler流形、对称sigma模型、HKT与双HKT模型等重要话题，最后还探讨了流形上的规范场以及Atiyah-Singer指标定理的函数积分计算。
特别值得强调的是，本书新增的超凯勒几何内容占据了相当篇幅，原来的第十章因为内容过多而被拆分为两章，作者Martin Rocek和Vladimir Rubtsov也为此提供了宝贵的讨论。此外，新版还加入了关于CP^n流形上规范场及其哈密顿量谱的详细分析。书中还讨论了Taub-NUT度量、Delduc-Valent度量等具体例子，以及非阿贝尔规范场和瞬子在四维球面上的显式解等深层问题。
这本书特别适合那些希望了解超对称方法在数学中应用的研究生、研究者和学者。无论你是对高能物理感兴趣的物理专业学生，还是希望用现代物理工具武装自己的数学工作者，都能从中获得启发。当然，阅读本书需要一定的数学和物理基础——熟悉微分几何和量子力学的基本概念会让你更容易跟上作者的思路。Smilga的写作风格兼具物理学家的直觉和数学家的严谨，他善于从具体例子出发逐步引出一般性结论，让人不禁感叹：原来纯粹抽象的高维几何构造，竟然能够如此精妙地描述真实的物理世界。