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本书共 7 章，围绕工程问题中核心的数学建模与求解方法展开，重点覆盖微分方程的解析、近似及数值解法， finite element method 与优化方法等高级主题，各章节逻辑连贯、层层递进：
（一）微分方程的解析解法
作为工程数学的核心基础，本章系统阐述常微分方程与偏微分方程的解析求解思路。首先明确微分方程的分类标准 —— 按导数阶数、变量个数、线性性及求解信息可分为一阶 / 高阶、常微分 / 偏微分、线性 / 非线性、初值问题 / 边值问题等类型，为不同工程场景的方程识别提供依据。
针对常微分方程，详细介绍积分法、特征方程法、拉普拉斯变换法等核心方法，涵盖齐次解与特解的求解逻辑，结合弹簧 - 质量 - 阻尼系统振动方程等工程实例，演示方法应用流程。对于偏微分方程，重点讲解分离变量法，针对瞬态热传导、杆的轴向振动、梁的振动等典型工程问题，分别给出齐次与非齐次边界条件下的解析方案，明确级数形式解的收敛性判断原则。
（二）微分方程的近似（半解析）解法
当解析解难以获取时，本章提供多种高效近似解法，分为积分基方法与微分方程基方法两大类。积分基方法包括变分法、加权残值法（配点法、子域法、最小二乘法、伽辽金法等）、微分方程积分法（如阿多米安法）；微分方程基方法以微分变换法为代表，通过递归方式获取解函数。
书中强调近似解函数的选择原则 —— 需满足本质边界条件，推荐多项式、三角函数及其混合形式作为近似函数，并利用正交性简化常数求解。每个方法均配套工程实例，展示从残差函数构建、权重函数选择到未知常数求解的完整流程，帮助读者掌握近似解法的核心逻辑。
（三）微分方程的数值解法
聚焦工程实际中复杂方程的数值求解，分三章详细介绍初值问题、边值问题及初边值混合问题的数值方法。初值问题部分涵盖欧拉法、改进欧拉法、龙格 - 库塔法、亚当斯法等单步与多步方法；边值问题讲解打靶法、有限差分法、微分求积法等核心技术；混合问题则结合前两类方法的优势，提供综合求解方案。
针对二阶微分方程的数值求解，专门对比泰勒级数法、有限差分法、纽马克法的适用场景与精度差异，为工程问题的方法选择提供参考。所有数值方法均配套 MATLAB 程序实例，明确编程实现步骤，降低工程人员的应用门槛。
（四）有限元法
作为工程领域主流的数值分析工具，本章系统讲解有限元法的核心原理与实施步骤。从单元类型选择、插值函数构建，到网格生成、单元平衡方程推导、整体方程组装，再到边界条件施加与方程求解，完整呈现有限元分析的全流程。
重点覆盖一维杆单元、二维三角形 / 四边形单元等常用单元类型，通过热力、结构振动等工程案例，演示如何利用有限元法解决机械、热学、流体、电学等多领域分析问题。书中提供的 MATLAB 程序模板，可直接用于工程问题的建模与求解，强化理论与实践的结合。
（五）优化方法
聚焦工程结构设计中的优化问题，介绍解析优化与数值优化两大类方法。解析优化方法适用于简单优化模型，通过数学推导获取最优解；数值优化方法则针对复杂工程场景，包括无约束优化（单变量 / 多变量）与约束优化（线性 / 非线性），详细讲解序列求解策略。
结合桁架结构设计、压力容器设计等工程实例，演示优化目标设定、约束条件构建、优化算法选择的完整流程，同时引入田口方法等实用优化技术，提升工程设计的效率与可靠性。
三、核心特色与价值
（一）内容针对性强
紧密贴合工程实际需求，所有方法均围绕机械、航空航天、汽车、土木等工程领域的真实问题展开，避免纯理论空谈。例如，在热传导方程求解中结合杆件散热场景，在振动方程中聚焦机械结构振动控制，确保读者能将所学方法直接应用于专业领域。
（二）理论与实践深度融合
每个知识点均配套 “理论推导 + 实例验证 + MATLAB 实现” 的完整闭环。书中不仅详细推导数学公式的来龙去脉，还提供大量手工计算实例与 MATLAB 代码，包括内置函数调用与自定义程序开发，帮助读者兼顾理论理解与工程实践能力。
（三）知识体系完整系统
与第一卷基础专题形成互补，从基础到高级层层递进，覆盖工程数学核心方法。书中包含独特知识点（如微分求积法在微分方程数值求解中的应用），填补同类书籍的内容空白，满足进阶学习需求。
（四）表述简洁易懂
采用清晰简洁的语言风格，避免复杂晦涩的表述，数学概念通过系统化推导逐步呈现，而非直接堆砌公式。每章末尾配备练习题与参考文献，方便读者巩固知识点与拓展学习。