资源介绍
书）
电子书格式: pdf
《数值与函数：理论、表述及 Python 代码》是 “计算方法系列” 的第一卷，由辛辛那提大学的刘桂荣教授撰写，聚焦计算方法的两大核心基础 —— 数值与函数，构建起从理论到实践的完整知识体系。全书以 Python 为主要工具，将抽象的数学概念与可直接运行的代码相结合，采用 Jupyter Notebook 格式编写，实现了理论阐述、公式推导与代码演示的统一，为读者提供了便捷的学习、练习与探索环境。本书的适用人群广泛，仅要求读者具备九年基础教育背景，涵盖高中生、大学生、研究生、科研人员及各领域专业人士。无论是想要系统入门计算方法的初学者，还是希望巩固基础并提升实践能力的工程技术人员，都能从书中获益。其核心目标是帮助读者以更高效、系统、顺畅的方式掌握计算方法，为后续学习更高级的计算方法内容奠定基础。二、核心内容框架（一）基础理论与工具铺垫开篇介绍了计算方法的整体框架、书籍系列的编写初衷，明确了数值与函数作为计算方法最基础概念的核心地位。书中详细说明的 Python 代码使用规范，包括所用 Python 及相关包（如 NumPy、SymPy）的版本、外部模块的导入方式、help () 函数的使用等，为读者顺利开展实践提供了关键指引。同时，强调了代码的使用规则与注意事项，如仅供学术使用、需合理引用等。（二）数值相关内容实数：系统阐述了实数集的定义、包含的整数、有理数、无理数三类元素，以及实数集作为有序域的算术运算性质（交换律、结合律、分配律）。深入探讨了 Python 中整数与浮点数的取值范围、精度限制，通过代码演示了实数的生成、随机采样（含受控随机采样）、闭包性质测试、归一化 / 缩放、范数计算等操作，并介绍了一维、二维及 n 维实坐标空间的概念与应用。复数：鉴于实数集在非线性代数运算中的局限性，引入复数集的概念，定义复数为\(c = a + ib\)（其中a为实部、b为虚部，\(i = \sqrt{-1}\)）。讲解了复数的几何表示（Re~Im 平面、极坐标形式）、周期性、欧拉方程等核心性质，详细推导了复数的算术运算（加法、减法、乘法、除法）、共轭、范数计算方法。通过大量数值测试验证了复数集在算术运算、代数运算、非线性运算及超越运算下的闭包性质，凸显了复数集在解决多项式求根、处理微分方程、规避奇点等问题中的优势，并拓展至 n 维复坐标空间的向量概念。（三）函数相关内容基本概念与性质：给出函数的定义，以平方函数为例，讲解了函数的定义域、 codomain、分布、根、极限、连续性、倒数函数、反函数等基础性质，并通过 Python 代码实现了函数的定义、求值与可视化。各类初等函数：系统介绍了线性函数、单项式函数、三角函数、多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等常见初等函数的定义、形式、性质及应用场景。重点分析了各类函数的定义域、 codomain、根、极限、连续性、倒数与反函数，探讨了复数域下函数的闭包性质，并结合 Python 代码实现了函数的生成、求值、绘图及相关运算。复合函数：阐述了复合函数的定义、定义域与 codomain 的变化及运算顺序，通过实例演示了复合函数的构建与求解。（四）基函数与函数逼近基函数：介绍了函数向量空间的概念，明确了基函数需满足的线性无关等条件。详细讲解了单项式基函数、拉格朗日多项式、切比雪夫多项式、勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式及节点基函数（形状函数）的定义、形式、递归公式、性质及 Python 生成方法，强调了各类基函数的线性无关性及其在函数空间中的完备性。函数逼近：重点阐述了利用各类基函数逼近未知函数的原理与方法。针对单项式基函数、拉格朗日多项式、切比雪夫多项式等不同基函数，分别给出了逼近的数学表述，通过 Python 代码演示了对多项式函数与任意函数的逼近过程，分析了逼近误差、收敛性及过拟合等问题，并对比了不同基函数在逼近效果、适用场景上的差异。特别介绍了基于节点基函数的分段逼近方法，及其在有限元法等领域的应用优势。三、书籍特色与价值理论与实践深度融合：全书贯穿 “理论阐述 + 代码演示” 的模式，所有抽象的数学概念、公式推导都配有对应的 Python 代码，读者可通过运行代码直观感受理论的应用过程，加深对知识的理解，同时提升编程实践能力。内容循序渐进、体系完整：从最基础的数值与函数概念入手，逐步拓展至基函数与函数逼近，层层递进，逻辑清晰，构建了完整的计算方法基础体系，为读者后续学习更高级的计算方法（如有限元法、无网格法等）奠定了坚实基础。适用范围广、实用性强：兼顾初学者与有一定基础的读者，内容难度梯度合理，代码简洁易懂且可直接复用。书中的方法与代码可广泛应用于科学计算、工程仿真、数据分析等多个领域，具有很强的实践指导意义。注重核心性质与应用场景：突出强调了数值与函数的闭包性质、基函数的线性无关性与完备性等核心数学性质，同时结合具体应用场景（如多项式求根、振动模式模拟、函数逼近等），帮助读者理解知识的本质与应用价值。