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《分数阶微积分基础》（The Fundamentals of Fractional Calculus）是一部系统梳理分数阶微积分理论与应用的权威著作，由印度查特拉帕蒂・沙胡吉・马哈拉杰大学的达摩德拉・库马尔・辛格（Dharmendra Kumar Singh）博士与土耳其内杰梅廷・埃尔巴坎大学的穆罕默德・亚武兹（Mehmet Yavuz）博士联合主编，于 2026 年首次出版。本书由苹果学术出版社（Apple Academic Press）与 CRC 出版社联合发行，汇集了全球多位顶尖学者的研究成果，既涵盖扎实的理论基础，又包含丰富的实际应用案例，为数学、物理、工程等领域的科研人员和学生提供了全面的学习与参考资源。
分数阶微积分作为经典微积分的拓展，打破了整数阶导数与积分的局限，能够更精准地描述具有记忆性、遗传性的复杂系统，在反常扩散、黏弹性材料、生物动力学、流行病学等诸多领域有着广泛应用。本书以灵活易懂的形式呈现分数阶微积分的核心内容，先建立完整的理论框架，再通过梯度递进的例题与习题帮助读者深化理解，几乎所有章节均基于最新研究成果，体现了该领域的前沿进展。
二、核心内容框架
（一）理论基础篇
分数阶微积分的发展历程：追溯从 1695 年莱布尼茨与洛必达的开创性探讨，到欧拉、拉普拉斯、阿贝尔、刘维尔等数学家的关键贡献，梳理分数阶微积分从理论雏形到系统化的演进脉络，阐明其与经典微积分的传承关系。
分数阶积分与导数的定义：详细介绍统一分数阶积分定义及几何解释，系统阐述魏尔（Weyl）分数阶积分、科贝尔（Kober）分数阶积分、赛戈（Saigo）分数阶算子等核心积分形式；深入讲解黎曼 - 刘维尔（Riemann-Liouville）型、卡普托（Caputo）型、魏尔型等各类分数阶导数的定义、性质及适用场景，明确不同定义间的联系与区别。
基本运算与变换：重点讨论拉普拉斯变换与分数阶积分、导数的相互关系，包括黎曼 - 刘维尔型、卡普托型、希尔弗（Hilfer）型、普拉巴卡尔（Prabhakar）型等各类分数阶算子的拉普拉斯变换求解方法，为分数阶微分方程的求解提供基础工具。
（二）方法与算法篇
分数阶微分方程的求解：提出分数阶导数阶数的数值估计方案，基于实验数据通过最小化误差函数确定最优阶数；介绍阿当分解法、皮卡迭代法等近似求解技术，针对二阶线性分数阶微分方程，推广达朗贝尔法、辅助方程法、参数变分法等求解策略，提供齐次方程与非齐次方程的完整求解框架。
数值计算方法：聚焦卡普托型分数阶导数的高精度数值计算，基于经典格雷戈里求积法及其推广形式，利用等距网格函数值实现收敛率达 O (h¹⁰) 的数值逼近；针对解析函数，提出复平面网格下的数值计算方法，收敛率可突破 O (h²⁰)，满足高精度计算需求。
特殊函数与积分变换应用：深入探讨克拉策尔（Kratzel）函数、P - 变换等特殊函数与变换的分数阶微积分性质，通过广义特殊函数推导分数阶积分与导数的复合公式，拓展分数阶算子的应用范围。
（三）应用拓展篇
跨学科应用模型：构建包含非奇异微分算子的新型积分 - 微分方程模型，分析卡普托 - 法布里齐奥（Caputo-Fabrizio）导数、阿坦加纳 - 巴莱努（Atangana-Baleanu）积分等混合算子方程的存在唯一性与数值解法；将分数阶微积分应用于酒精成瘾动力学、传染病传播、离婚率演化等社会与生物系统建模，展示其在复杂系统描述中的优势。
离散系统与动力学分析：基于 k - 符号分数阶微积分理论，提出姜饼人离散系统的拓展模型，研究系统的稳定性、对称性与同步性，为离散非线性系统的分析提供新工具；探讨分数阶动力学方程与不完全赖特函数的结合应用，丰富分数阶模型的表达能力。
三、书籍特色与价值
权威性与前沿性：主编及 contributors 均为分数阶微积分领域的资深学者，拥有深厚的研究积累与丰富的教学经验，书中内容融合了最新研究成果，反映了该领域的研究热点与发展趋势。
理论与实践并重：既注重理论体系的完整性，从基本定义到高阶性质层层递进，又强调实际应用与数值实现，提供详细的算法步骤、数值示例与仿真结果，便于读者快速上手。
跨学科适用性：涵盖数学理论、数值计算、工程应用、社会科学等多个维度，不仅适用于数学专业研究者，也能为物理、工程、生物、医学等领域的科研人员提供解决复杂问题的新视角与新工具。
清晰的结构编排：章节逻辑严谨，从基础理论到方法技巧再到应用拓展逐步深入，每章配备参考文献与总结，便于读者系统学习与进一步研究。
四、适用读者
本书适合数学、应用数学、物理学、力学、电气工程、生物医学等专业的高年级本科生、研究生及科研人员阅读使用，可作为分数阶微积分相关课程的教材或参考用书，也能为从事复杂系统建模与分析的工程技术人员提供重要的理论支撑与实践指导。无论是希望系统掌握分数阶微积分基础理论的初学者，还是寻求前沿研究方向与应用案例的资深研究者，都能从本书中获得有价值的知识与启发。